12584. Точки D
и E
отмечены соответственно на сторонах AC
и BC
треугольника ABC
так, что AD=EC
. Оказалось, что BD=ED
, \angle BDC=\angle DEB
. Найдите сторону AC
, если известно, что AB=7
и BE=2
.
Ответ. 12.
Решение. Заметим, что треугольники DEC
и BDA
равны по двум сторонам (CD=AB
, DE=BD
) и углу между ними
(\angle CED=180^{\circ}-\angle BED=180^{\circ}-\angle BDC=\angle ADB).
Значит, что
CD=AB=7,~\angle ACB=\angle DCE=\angle BAD=\angle BAC.
Из последнего равенства углов получаем, что треугольник ABC
равнобедренный, BC=AB=7
. Следовательно,
AC=CD+AD=AB+CE=7+5=12.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, школьный этап, задача 4, 8 класс