12587. В треугольнике ABC
известны углы \angle B=30^{\circ}
и \angle A=90^{\circ}
. На стороне AC
отмечена точка K
а на стороне BC
— точки L
и M
так, что KL=KM
(точка L
лежит на отрезке BM
). Найдите LM
, если известно, что AK=4
, BL=31
, MC=3
.
Ответ. 14.
Решение. Пусть KH
— высота равнобедренного треугольника KLM
. Обозначим HM=HL=x
. В прямоугольном треугольнике CHK
угол при вершине K
равен 30^{\circ}
, поэтому
CK=2CH=2(3+x)=6+2x.
В прямоугольном треугольнике ABC
гипотенуза BC
вдвое больше катета AC
, т. е.
BC=2AC,~\mbox{или}~3+2x+31=2(6+2x+4),
откуда находим, что x=7
. Следовательно, LM=2x=14
.