12591. Дан прямоугольник ABCD
. Прямая, проходящая через вершину A
и точку K
на стороне BC
, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в пять раз меньше площади другой. Найдите BK
, если AD=60
Ответ. 40.
Решение. Проведём через точку K
прямую, параллельную AB
. Пусть она пересекает сторону AD
в точке L
. Тогда LKCD
и ABKL
— прямоугольники. Пусть S_{\triangle ABK}=S
. Тогда S_{\triangle KLA}=S
. Очевидно, что
S_{AKCD}=5S,~S_{LKCD}=5S-S=4S.
Отношение площадей прямоугольников ABKL
и DCKL
с общей стороной KL
равно отношению сторон BK
и CK
. Следовательно,
\frac{BK}{CK}=\frac{2S}{4S}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
KC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}\cdot60=40.