12592. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC
с прямым углом A
. Вершины K
, L
и N
квадрата KLMN
расположена сторонах, AB
, BC
и AC
соответственно, а вершина M
расположена внутри треугольника ABC
. Найдите AC
, если известно, что AL=7
, AN=3
.
Ответ. 17.
Решение. Пусть LP
— перпендикуляр, опущенный из точки L
на прямую AB
. Поскольку
\angle PKL=90^{\circ}-\angle AKN=\angle NAK,
прямоугольные треугольники KPL
и NAK
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, PL=AK=7
и PK=AN=3
. Треугольник BPK
прямоугольный и равнобедренный, поэтому BP=PL=7
. Следовательно,
AC=AB=BP+PK+KA=7+3+7=17.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, муниципальный этап, задача 7, 8 класс