12593. Точка I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. На стороне BC
отметили точку X
. Оказалось, что AI=BX
, AC=CX
, \angle ABC=42^{\circ}
.
а) Сколько градусов составляет угол BIX
?
б) Сколько градусов составляет угол BCA
?
Ответ. а) 21^{\circ}
; б) 54^{\circ}
.
Решение. а) Заметим, что треугольники XIC
и AIC
равны двум сторонам и углу между ними (IC
— общая сторона, XC=CA
, \angle XCI=\angle ACI
). Тогда XI=AI=BX
, и треугольник BXI
равнобедренный. Следовательно,
\angle BIX=\angle IBX=\frac{1}{2}\angle ABC=21^{\circ}.
б) Получается, что \angle ABI=\angle BIX=21^{\circ}
, поэтому AB\parallel XI
. Следовательно,
\angle BAC=2\angle IAC=2\angle IXC=2\angle ABC=84^{\circ},
\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ}-84^{\circ}-42^{\circ}=54^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, муниципальный этап, задача 3, 9 класс