12594. Дан треугольник ABC
. Точка M
— середина стороны BC
. Пусть l
— биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
. Прямая, проходящая через точку M
и параллельная l
, пересекает сторону AB
в точке K
. Найдите AK
, если AB=23
и AC=8
.
Ответ. 15,5.
Решение. Проведём через точку C
прямую l_{1}
параллельно прямой l
. Пусть X
— точка пересечения прямой l_{1}
и l_{1}
и AB
. Заметим, что \angle AXC=\angle ACX
, так как оба этих угла равны половине внешнего угла треугольника ABC
при вершине A
, поэтому AX=AC=8
.
Отрезок MK
— средняя линия треугольника BCX
, поэтому
AK=AX+XK=8+\frac{1}{2}BX=8+\frac{1}{2}(AB-AX)=8+\frac{23-8}{2}=15{,}5.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, муниципальный этап, задача 6, 9 класс