12595. Четырёхугольник ABCD
таков, что \angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}
, \angle CAD=42^{\circ}
. Лучи CB
и DA
пересекаются в точке K
. Известно, что BK=3
, AD=6
.
а) Сколько градусов составляет угол BKA
?
б) Сколько градусов составляет угол BAC
?
Ответ. а) 28^{\circ}
; б) 34^{\circ}
.
Решение. Из условия следует, что точки A
, B
, C
, D
лежат на окружности с диаметром AD
. Соединим отрезком точку B
и центр O
этой окружности, т. е. середину отрезка AD
. Ясно, что
AO=OD=OB=BK=3.
Треугольники KBO
и BOD
равнобедренные. Обозначим \angle BKA=\angle BOK=\alpha
. Угол BOK
, равный \alpha
, — внешний угол равнобедренного треугольника OBD
, поэтому
\angle OBD=\angle ODB=\frac{\alpha}{2}.
Вписанные углы CBD
и CAD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle OBD=\angle ODB=42^{\circ}.
Угол CBD
, равный 42^{\circ}
, — внешний угол треугольника KBD
, поэтому
42^{\circ}=\angle CBD=\alpha+\frac{\alpha}{2},
откуда находим, что
\angle BKA=\alpha=28^{\circ}.
В прямоугольном треугольнике ABD
сумма углов при вершинах A
и D
равна 90^{\circ}
, поэтому
90^{\circ}=\angle BAD+\angle ADB=\angle BAC+\angle CAD+\angle ADB=
=\angle BAC+42^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=\angle BAC+42^{\circ}+14^{\circ}=\angle BAC+56^{\circ},
откуда находим, что \angle BAC=34^{\circ}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, муниципальный этап, задача 3, 10 класс