12596. Дана трапеция ABCD
. Отрезки AB
и CD
— её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне AB
отмечены точки X
и Y
так, что AX=6
, XY=8
, YB=10
. Известно, что расстояния от точек X
и Y
до прямой CD
равны 23 и 27 соответственно.
а) Найдите площадь треугольника ACD
.
б) Найдите площадь трапеции ABCD
.
Ответ. а) 100; б) 260.
Решение. Пусть A_{1}
, X_{1}
, Y_{1}
, B_{1}
— проекции на прямую CD
точек A
, X
, Y
, B
соответственно, а прямая, проведённая через точку X
параллельно CD
пересекает прямые AA_{1}
, YY_{1}
и BB_{1}
в точках P
, Q
и R
соответственно.
Гипотенузы подобных прямоугольных треугольников APX
, YQX
и BRX
относятся как
AX:XY:XB=6:8:18=3:4:9,
поэтому
AP:YQ:BR=3:4:9,
а так как
YQ=YY_{1}-QY_{1}=YY_{1}-XX_{1}=27-23=4,
получаем, что AP=3
и BR=9
. Тогда
AA_{1}=XX_{1}-AP=23-3=20,~BB_{1}=XX_{1}+BR=23+9=32.
Значит,
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AA_{1}\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot20\cdot10=100,~S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BB_{1}\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot32\cdot10=160.
Треугольники ABC
и BCD
с общим основание BC
и равными высотами равновелики, следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}=100+160=260.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, муниципальный этап, задача 6, 10 класс