12602. На плоскости даны квадрат и правильный треугольник. Известно, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Найдите сторону данного квадрата.
Ответ. 2\sqrt[{3}]{{2}}\sqrt{3}=2\sqrt[{6}]{{108}}
.
Решение. Пусть сторона квадрата равна a
, а сторона правильного треугольника равна b
. По условию задачи
a^{2}=3b~\mbox{и}~4a=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4},
или
a^{4}=9b^{2}~\mbox{и}~4a=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}.
Разделив первое из этих равенств на второе, получим
\frac{a^{3}}{4}=\frac{36}{\sqrt{4}},~\mbox{или}~a^{3}=\frac{4\cdot36}{\sqrt{3}}=\frac{8\cdot18}{\sqrt{3}}=8\cdot2\cdot3\sqrt{3},
откуда находим, что
a=2\sqrt[{3}]{{2}}\sqrt{3}=2\sqrt[{6}]{{108}}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2019-2020, XLVI, школьный этап, задача 3, 11 класс