12604. Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) равен основанию AC
. На основании AC
построен квадрат AKLC
так, что отрезок KL
пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник BKL
равносторонний.
Решение. Отметим точку O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Из условия получим, что OA=OC=AC
, поэтому треугольник AOC
равносторонний. Поскольку AKLC
— квадрат,
AK=KL=LC=AC.
Заметим, что BO\parallel LC
, поскольку обе прямые перпендикулярны AC
, и также BO=AC=LC
. Это означает, что OBLC
— параллелограмм. Тогда получаем, что OC=LB
. Аналогично, KB=AO
. Следовательно, KB=BL=KL
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, школьный этап, задача 2, 9 класс