12608. Два квадрата имеют общую вершину. Найдите отношение отрезков AB
и CD
, показанных на рисунке.
Ответ. 1:\sqrt{2}
.
Решение. Пусть точка O
— общая вершина двух квадратов, а их стороны равны a
и b
. Диагонали квадратов равны a\sqrt{2}
и b\sqrt{2}
соответственно. Кроме того,
\angle COD=\angle COB+\angle BOD=\angle COB+45^{\circ}=\angle COB+\angle AOC=\angle AOB.
Треугольники AOB
и COD
подобны по общему углу и пропорциональным сторонам при этом угле. Следовательно,
AB:CD=OA:OC=a:a\sqrt{2}=1:\sqrt{2}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2017-2018, XLIV, школьный этап, задача 4, 9 класс