12614. Один из углов трапеции равен 60^{\circ}
. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.
Ответ. 1:3
.
Решение. Трапеция ABCD
вписанная, поэтому она равнобедренная, т. е. AB=CD
, а так как \angle BAD=60^{\circ}
, то \angle ABC=120^{\circ}
. Центр вписанной окружности — точка O
пересечения биссектрис BO
, AO
и CO
углов BAD
и ACB
.
Пусть лучи BO
и CO
пересекают основание AD
в точках K
и L
соответственно. Треугольник ABK
равносторонний, так как \angle ABK=60^{\circ}=\angle BAK
. Значит, биссектриса AO
является медианой этого треугольника. Значит, O
— середина BK
, поэтому OL
— средняя линия треугольника ABK
(проходит через середину BK
параллельно AB
). Следовательно, AL=LK
. Аналогично, LK=KD
. Треугольники BCO
и LKO
равносторонние (углы по 60^{\circ}
) и их стороны равны (BO=OK
). Значит,
BC=LK=AL=KD.
Следовательно, AD=3BC
.