12616. Продолжения биссектрис AD=l_{a}
, BE=l_{b}
и CF=l_{c}
треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
пересекают описанную окружность точках D'
, E'
и F'
соответственно. Пусть AD'=t_{a}
, BE'=t_{b}
и CF'=t_{c}
. Докажите, что abc=\sqrt{l_{a}l_{b}l_{c}t_{a}t_{b}t_{c}}
.
Решение. Треугольники ABD
и AEC
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}~\Rightarrow~AB\cdot AC=AE\cdot AD,~\mbox{или}~cb=t_{a}l_{a}.
Аналогично,
ac=t_{b}l_{b},~ab=t_{c}l_{c}.
Перемножив эти три равенства, получим
a^{2}b^{2}c^{2}=l_{a}l_{b}l_{c}t_{a}t_{b}t_{c}.
Следовательно,
abc=\sqrt{l_{a}l_{b}l_{c}t_{a}t_{b}t_{c}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1976, № 10, задача 168, с. 233
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1977, том 50, № 3, задача Q646 , с. 163 и 169