12623. Окружность с центром O
, вписанная в треугольник PQR
, касается его сторон PQ
, QR
и RP
в точках C
, A
и B
соответственно. Прямые BO
и CO
пересекают стороны PQ
и PR
в точках K
и L
соответственно. Найдите отношение QA:AR
, если KQ=3
, QR=16
, LR=1
.
Ответ. 9:7
.
Решение. Прямоугольные треугольники PBK
и PCL
равны по катету (PB=PC
как касательные, проведённые к окружности из одной точки) прилежащему острому углу (угол при вершине P
— общий). Следовательно, PK=PL
, а так как PC=PB
, то и CK=BL
. Пусть CK=BL=x
. Тогда
QA=QC=QK+KC=3+x,
RA=RB=RL+LB=1+x.
Поскольку QR=16
, получаем, что
(3+x)+(1+x)=16,
откуда x=6
. Значит,
AQ:AR=(3+x)(1+x)=(3+6)(1+6)=9:7.