12636. Точка D
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Точка M
лежит на стороне BC
, причём \angle BAM=\angle DAC
. Окружность, описанная около треугольника CAM
, вторично пересекает сторону AB
в точке L
; окружность, описанная около треугольника BAM
, вторично пересекает сторону AC
в точке K
. Докажите, что KL\parallel BC
.
Решение. Достаточно доказать, что CK:LB=AC:AB
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Четырёхугольник ABMK
вписанный, поэтому
\angle CMK=180^{\circ}-\angle BMK=\angle LAK=\alpha.
Аналогично,
\angle BML=180^{\circ}-\angle CML=\angle CAL=\alpha.
На продолжении медианы AM
треугольника ABC
за точку M
отложим отрезок DE=AM
. Тогда ABEC
— параллелограмм, поэтому
BE=AC,~\angle BEA=\angle CAE=\angle CAD.
Применив теорему синусов к треугольникам AKM
, BAM
и ACE
, получим
\frac{KM}{AM}=\frac{\sin\angle KAM}{\sin\angle AKM}=\frac{\sin\angle KAM}{\sin(180^{\circ}-\angle CKM)}=\frac{\sin\angle KAM}{\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{\sin\angle KAM}{\sin\beta}.
\frac{BM}{AM}=\frac{\sin\angle BAM}{\sin\angle ABM}=\frac{\sin\angle BAM}{\sin\beta},
\frac{AC}{CE}=\frac{\sin\angle AEC}{\sin\angle CAE}=\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}=\frac{\sin\angle KAM}{\sin\angle BAM}=\frac{\sin\angle KAM}{\sin\beta}.
Тогда
KM=\frac{AM\sin\angle KAM}{\sin\beta},~BM=\frac{AM\sin\angle BAM}{\sin\beta},
а так как треугольники CKM
и LBM
подобны (по двум углам), то
\frac{CK}{LB}=\frac{KM}{BM}=\frac{\frac{AM\sin\angle KAM}{\sin\beta}}{\frac{AM\sin\angle BAM}{\sin\beta}}=\frac{\sin\angle KAM}{\sin\angle BAM}=\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}=
=\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAE}=\frac{\sin\angle BAE}{\sin\angle BEA}=\frac{BE}{AB}=\frac{AC}{AB}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2004, задача 19