12639. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором BC=AD
. Точки M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Прямые AD
и BC
пересекают прямую MN
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что CQ=DP
.
Решение. Пусть A'
, B'
, C'
, D'
— проекции точек соответственно A
, B
, C
, D
на прямую MN
. Из равенства получившихся прямоугольных треугольников следует, что AA'=BB'
и CC'=DD'
.
Пусть X
и Y
— проекции точек C
и D
на прямые BB'
и AA'
соответственно. Тогда DD'A'Y
и CC'B'B
— прямоугольники, поэтому
AY=AA'-A'Y=AA'-DD'=BB'-CC'=BB'-B'X=BX,
а так как AD=BC
, то прямоугольные треугольники AYD
и BXC
равны по катету и гипотенузе. Тогда
\angle C'CQ=\angle B'BQ=\angle A'AP=\angle D'DP,
а так как CC'=DD'
, то прямоугольные треугольники CC'Q
и DD'P
равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, CQ=DP
. Что и требовалось доказать.