12644. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. Прямые BE
и CD
пересекаются в точке F
. Докажите, что если BC^{2}=BD\cdot BA+CE\cdot CA
, то точки A
, D
, F
, E
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть G
— точка стороны BC
, для которой BG\cdot BC=BD\cdot BA
(такая точка существует, так как BD\cdot BA=BC^{2}-CE\cdot CA\lt BC^{2}
). Тогда точки A
, D
, G
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Кроме того,
CE\cdot CA=BC^{2}-BD\cdot BA=BC(BG+CG)-BC\cdot BG=CB\cdot CG,
значит, точки A
, B
, G
и E
тоже лежат на одной окружности. Тогда по теореме о вписанных углах
\angle DAG=\angle DCG~\mbox{и}~\angle EAG=\angle EBG.
По теореме о внешнем угле треугольника
180^{\circ}-\angle DFE=\angle BFD=\angle CBF+\angle BCF=
=\angle GBE+\angle GCD=\angle EAG+\angle DAG=\angle DAE.
Следовательно, четырёхугольник ADFE
вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.