12649. Даны две равные непересекающие окружности радиуса r
. Одна прямая последовательно пересекает первую из них в точках A
и B
, а вторую — в точках C
и D
, причём AB=BC=CD=14
. Другая прямая последовательно пересекает первую окружность в точках E
и F
, а вторую — в точках G
и H
, причём EF=FG=GH=6
. Найдите радиус r
.
Ответ. 13.
Решение. Заметим, что центры O_{1}
и O_{2}
окружностей лежат по разные стороны от прямой EH
, так как иначе r\lt12
и отрезок AB
не может быть равным 14.
Пусть P
— точка пересечения прямых EH
и O_{1}O_{2}
. Точки A
и D
расположены по одну сторону от прямой O_{1}O_{2}
(иначе прямые AD
, EH
и O_{1}O_{2}
пересеклись бы в точке P
, а тогда из равенств
AB=BC=CD,~EF=FG=GH
следовало бы, что BC=FG
, а это невозможно).
Проекции X
и Y
точек соответственно O_{1}
и O_{2}
на прямую AD
— середины хорд AB
и CD
, а O_{1}XYO_{2}
— прямоугольник, поэтому
O_{1}O_{2}=XY=7+14+7=28.
Пусть h=O_{1}T
— высота треугольника O_{1}EP
. Тогда T
— середина хорды EF
. Из прямоугольных треугольников O_{1}TP
и O_{1}TF
получаем
h^{2}=O_{1}P^{2}-TP^{2}=14^{2}-6^{2}=160,~
r^{2}=O_{1}F^{2}=O_{1}T^{2}+TF^{2}=h^{2}+3^{2}=160+9=169.
Следовательно, r=13
.