12650. Отрезки NS
и EW
— перпендикулярные диаметры некоторой окружности. Прямая l
касается этой окружности в точке S
. Пусть A
и B
— точки окружности, симметричные относительно диаметра EW
, а A'
и B'
— точки пересечения с прямой l
лучей NA
и NB
соответственно. Докажите, что SA'\cdot SB'=SN^{2}
.
Решение. Заметим, что SA
— высота прямоугольного треугольника NSA'
, проведённая из вершины прямого угла. Четырёхугольник ABSN
— трапеция с основаниями AB
и NS
, вписанная в окружность. Значит, эта трапеция равнобедренная. Тогда
\angle SNB'=\angle SNB=\angle ASN=\angle SA'N.
Прямоугольные треугольники NSA'
и B'SN
подобны по двум углам, значит, \frac{SA'}{SN}=\frac{SN}{SB'}
. Следовательно, SA'\cdot SB'=SN^{2}
. Что и требовалось доказать.