12653. Дан единичный квадрат ABCD
и точки P
и Q
, причём Q
— центр окружности, описанной около треугольника BPC
, а D
— центр окружности, описанной около треугольника PQA
. Найдите все возможные значения отрезка PQ
.
Ответ. \sqrt{2\pm\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\pm1}{\sqrt{2}}
.
Решение. Точка Q
— центр описанной окружности треугольника BPC
, поэтому PQ=QC
и Q
лежит на серединном перпендикуляре l
к отрезку BC
. С другой стороны, точка D
— центр описанной окружности треугольника PQA
, поэтому точка Q
лежит на окружности с центром D
, проходящей через точку A
. Значит, Q
— одна из двух точек Q_{1}
и Q_{2}
пересечения этой окружности с прямой l
.
Пусть Q_{1}
лежит внутри, а Q_{2}
вне квадрата ABCD
, а E
и F
— середины отрезков AD
и BC
соответственно. Тогда
AQ_{1}=DQ_{1}=DA=1,
т. е. треугольник ADQ_{1}
равносторонний со стороной 1, а так как Q_{1}E
— его высота, то
EQ_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},~FQ_{1}=EF-EQ_{1}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Из прямоугольного треугольника CFQ_{1}
находим, что
PQ_{1}=CQ_{1}=\sqrt{CF^{2}+FQ_{1}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}
Аналогично, треугольник ADQ_{2}
равносторонний со стороной 1, поэтому Q_{2}E=\sqrt{2+\sqrt{3}}
, и
PQ_{2}=CQ_{2}=\sqrt{CF^{2}+FQ_{2}^{2}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}.
Следовательно, возможные значения длины отрезка PQ
— \sqrt{2\pm\sqrt{3}}
.
Примечание. Положение точки P
для решения задачи не имеет значения. Заметим, тем не менее, что точка P
существует, так как P
и C
— две точки пересечения окружности с центром D
, проходящей через вершину A
, и окружности с центром Q
, проходящей через вершину C
.