12655. Разделите данный отрезок на два отрезка так, чтобы сумма квадратов этого отрезка и одной из его частей была бы равна удвоенному квадрату оставшейся части.
Решение. Предположим, что точка E
данного отрезка AB
такова, что AB^{2}+AE^{2}=2BE^{2}
. Обозначим AB=y
и AE=x
. Тогда
y^{2}+x^{2}=2(x-y)^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}-4xy+y^{2}=0,
а так как y
, то из этого равенства получим, что x=y(2-\sqrt{3})
. Отсюда вытекает следующее построение.
С центром в точке B
строим полуокружность радиусом BA
. Пусть AC
— её диаметр. С центром в точке A
строим окружность того же радиуса. Построенные полуокружность и окружность пересекаются в точке D
. С центром в точке C
строим окружность радиусом CD
. Докажем, что точка E
её пересечения с отрезком AB
удовлетворяет условию задачи, т. е.
AB^{2}+AE^{2}=2BE^{2}.
Обозначим AB=y
. В прямоугольном треугольнике ACD
катет AD=y
равен половине гипотенузы AC
, поэтому \angle CAD=60^{\circ}
. Тогда
CD=y\sqrt{3},~AE=AC-CD=2y-y\sqrt{3}=y(2-\sqrt{3}),
BE=AB-AE=y-y(2-\sqrt{3})=y(\sqrt{3}-1).
Следовательно,
AB^{2}+AE^{2}=y^{2}+(2-\sqrt{3})^{2}y^{2}=y^{2}(1+7-4\sqrt{3})=
=y^{2}(8-4\sqrt{3})=2y^{2}(4-2\sqrt{3})=2y^{2}(\sqrt{3}-1)^{2}=2BE^{2}.
Что и требовалось доказать.
Задача имеет единственное решение.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1976, № 9, задача 158, с. 201