12661. Дан треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
. Прямая, проходящая через вершину B
параллельно AC
, пересекает биссектрису внешнего угла треугольника при вершине A
в точке D
. Прямая, проходящая через вершину C
параллельно AB
, пересекает прямую AD
в точке E
. Точка F
лежит на стороне AC
, причём FC=AB
. Докажите, что DF=FE
.
Решение. Пусть K
— точка на продолжении стороны AC
за точку C
. Поскольку прямые BD
и AC
параллельны, а луч AD
— биссектриса угла DAK
, то
\angle BAD=\angle DAK=\angle BDA.
Обозначим эти углы через \alpha
. Тогда
\angle CAE=\angle BDA=\angle BAD=\angle CEA=\alpha,
поэтому треугольники ABD
и ACE
равнобедренные, и тогда AB=BD
и AC=CE
.
Пусть B'
, C'
и F'
— проекции точек соответственно B
, C
и F
на прямую DE
. Поскольку FC=AB
, получаем
B'F'=AB'+AF'=AB\cos\alpha+AF\cos\alpha=(AB+AF)\cos\alpha=
=(CF+AF)\cos\alpha=AC\cos\alpha=AC'=C'E,
DB'=BD\cos\alpha=FC\cos\alpha=F'C'.
Тогда DF'=F'E
, значит, треугольник DFE
равнобедренный с основанием DE
. Следовательно, DF=FE
.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1998, задача 14