12662. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
стороны AE
и BC
параллельны и \angle ADE=\angle BDC
. Диагонали AC
и BE
пересекаются в точке P
. Докажите, что \angle EAD=\angle BDP
и \angle CBD=\angle ADP
.
Решение. Пусть R_{1}
и R_{2}
— радиусы окружностей C_{1}
и C_{2}
, описанных около треугольников AED
и BCD
соответственно, а луч DP
пересекает окружность C_{2}
в точке F
. Тогда по теореме синусов
\frac{AE}{CB}=\frac{2R_{1}\sin\angle ADE}{2R_{2}\sin\angle BDC}=\frac{R_{1}}{R_{2}}.
Значит, при гомотетии с центром P
, переводящей отрезок AE
в отрезок CB
, окружность C_{1}
переходит в окружность C_{2}
, а не содержащая точки A
дуга DE
окружности C_{1}
— в не содержащую точки D
дугу BF
окружности C_{2}
. Радианная мера дуги равна отношению длины дуги к радиусу окружности, следовательно, вписанные в окружности C_{1}
и C_{2}
углы EAD
и BDF
равны. Аналогично для углов ADF
и CBD
.