12663. В треугольнике ABC
известно, что 2AB=AC+BC
. Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника, а также середины сторон AC
и BC
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AC
и BC
треугольника ABC
, а I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей.
Поскольку O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC
, отрезок OC
виден из точек M
и N
под прямым углом. Значит, точки M
и N
лежат на окружности \Omega_{1}
с диаметром OC
.
Первый способ. Точки C
, I
, M
и N
также лежат на одной окружности (см. задачу 6100в). Обозначим её \Omega_{1}
. Поскольку через точки C
, M
и N
, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Докажем, что точки C
, I
, M
и N
также лежат на одной окружности. Для этого достаточно доказать, что
\angle NCM+\angle NIM=180^{\circ}.
Действительно, поскольку
AB=\frac{AC+BC}{2}=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=AM+BN,
на стороне AB
можно выбрать точку D
, для которой AD=AM
и BD=BN
. Тогда треугольник AIM
равен треугольнику AID
, а треугольник BIN
— треугольнику BID
(по двум сторонам и углу между ними). Значит,
\angle NCM+\angle NIM=\angle NCM+(360^{\circ}-2\angle AID-2\angle BID)=
=\angle BCA+360^{\circ}-2\angle AIB=\angle BCA+360^{\circ}-2\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\right)=180^{\circ}
(см. задачу 4779). Что и требовалось доказать.