12664. Биссектрисы углов A
и B
треугольника ABC
пересекаются со сторонами BC
и CA
в точках D
и E
соответственно. Известно, что AE+BD=AB
. Найдите угол C
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть F
— такая точка на стороне AB
, что AF=AE
и BF=BD
. Прямая AD
содержит биссектрису равнобедренного треугольника EAF
, поэтому AD
— серединный перпендикуляр к отрезку EF
. Значит, DE=DF
. Аналогично, DE=EF
. Тогда треугольник DEF
равносторонний, поэтому
\angle EFD=60^{\circ},~\angle AFE+\angle BFD=120^{\circ},
\angle CAB+\angle ABC=\angle EAF+\angle DBF=
=(180^{\circ}-2\angle AFE)+(180^{\circ}-2\angle BFD)=
=360^{\circ}-2(\angle AFE+\angle BFD)=360^{\circ}-2\cdot120^{\circ}=120^{\circ}.
Следовательно,
\angle ACB=180^{\circ}-(\angle CAB+\angle ABC)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1999, задача 13