12665. Дан равнобедренный треугольник ABC
, AB=AC
. Точки D
и E
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно. Прямая, проходящая через точку B
параллельно AC
, пересекается с прямой DE
в точке F
. Прямая, проходящая через точку C
параллельно AB
, пересекается с прямой DE
в точке G
. Докажите, что площади четырёхугольников DBCG
и FBCE
пропорциональны отрезкам AD
и AE
.
Решение. Четырёхугольники DBCG
и FBCE
— трапеции (или параллелограммы). Их площади равны произведению полусумм оснований на высоты, которые совпадают с высотами равнобедренного треугольника ABC
, опущенными на его боковые стороны. Эти высоты равны, поэтому достаточно доказать, что
\frac{BD+CG}{CE+BF}=\frac{AD}{AE}.
Треугольники BDF
, ADE
и CGE
подобны по двум углам, поэтому
\frac{BD}{BF}=\frac{CG}{CE}=\frac{AD}{AE}.
Следовательно, по свойству пропорций
\frac{BD+CG}{CE+BF}=\frac{AD}{AE}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1999, задача 14