12666. Дан треугольник ABC
(AC\lt BC
) с углом 60^{\circ}
при вершине C
. Точка D
лежит на стороне BC
, причём BD=AC
. На продолжении стороны AC
отмечена точка E
, для которой AC=CE
. Докажите, что AB=DE
.
Решение. Первый способ. Отметим на стороне BC
такую точку F
, что CF=BD=AC
. (рис. 1). Поскольку \angle ACF=60^{\circ}
, треугольник ACF
равносторонний, поэтому AF=AC=CE
. Тогда
\angle AFB=\angle ECD=120^{\circ},
а так как BF=CD
, то треугольники AFB
и ECD
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB=DE
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Из треугольников ABC
и CDE
по теореме косинусов получаем
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\angle ACB=AC^{2}+BC^{2}-AC\cdot BC=
=AC^{2}+(BD+DC)^{2}-AC\cdot(BD+DC)=
=AC^{2}+(AC+DC)^{2}-AC(AC+DC)=AC^{2}+DC^{2}+AC\cdot DC,
DE^{2}=DC^{2}+CE^{2}-2DC\cdot CE\cos\angle DCE=DC^{2}+CE^{2}+DC\cdot EC=
=DC^{2}+AC^{2}+DC\cdot AC.
Следовательно, AB=DE
.