12667. Пусть K
— точка внутри треугольника ABC
, а точки M
и N
таковы, что M
и K
лежат по разные стороны от прямой AB
, а N
и K
— по разные стороны от прямой BC
. Известно, что
\angle MAB=\angle MBA=\angle NBC=\angle NCB=\angle KAC=\angle KCA.
Докажите, что MBNK
— параллелограмм.
Решение. Обозначим через \alpha
все шесть равных по условию углов. Тогда
\angle MAK=\alpha+(\angle BAC-\alpha)=\angle BAC.
Из равнобедренного треугольника AMB
получаем, что
\cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}AB}{AM},
откуда \frac{AM}{AB}=\frac{1}{2\cos\alpha}
. Аналогично, \frac{AK}{AC}=\frac{1}{2\cos\alpha}
. Значит, \frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AC}
. Тогда треугольник MAK
подобен треугольнику BAC
по двум сторонам и углу между ними, причём коэффициент подобия равен \frac{AM}{AB}=\frac{1}{2\cos\alpha}
. Значит,
MK=\frac{BC}{2\cos\alpha}=BN.
Аналогично получим, что BM=BK
. Противоположные стороны четырёхугольника MBKN
попарно параллельны, следовательно — это параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2000, задача 1