12668. Дан равнобедренный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
. Точка M
— середина стороны AB
. Прямая, проходящая через точку A
перпендикулярно CM
, пересекает сторону BC
в точке P
. Докажите, что \angle AMC=\angle BMP
.
Решение. Достроим треугольник ABC
до квадрата ABKC
. Пусть N
— точка пересечения прямой AP
со стороной BK
. Поскольку AN\perp CM
, прямоугольные треугольники CAM
и ABN
равны по катету и прилежащему острому углу. Значит,
BN=AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BK
т. е. N
— середина стороны BK
.
Из равенства прямоугольных треугольников CAM
и ABN
также следует, что BN=AM=BN
, значит, треугольники BPM
и BPN
равны по двум сторонам и углу между ними (\angle PBM=\angle PBN=45^{\circ}
). Следовательно,
\angle BMP=\angle BNP=\angle BNA=\angle AMC.
Что и требовалось доказать.