12670. Дан треугольник ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине A
. Точки K
и L
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно. Пусть BKP
и CLQ
— равносторонние треугольники с вершинами P
и Q
вне треугольника ABC
. Докажите, что
PQ\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}(AB+AC).
Решение. Прямые BP
и CQ
параллельны, так как
\angle CBP+\angle BCQ=(\angle ABC+\angle ABP)+(\angle ACB+\angle ACQ)=
=(\angle ABC+\angle ACB)+(\angle ABP+\angle ACQ)=
=(180^{\circ}-120^{\circ})+(60^{\circ}+60^{\circ})=180^{\circ}.
Пусть X
и Y
— проекции вершины A
на прямые BP
и XQ
соответственно. Тогда
AX=\frac{\sqrt{3}}{2}AB+\frac{\sqrt{3}}{2}AC,
а так как точки X
, A
и Y
лежат на одной прямой, то
PQ\geqslant XY=\frac{\sqrt{3}}{2}AB+\frac{\sqrt{3}}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}(AB+AC).
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2000, задача 4