12673. Дан параллелограмм ABCD
. Окружность проходит через вершину A
и пересекает отрезки AB
, AC
и AD
в их внутренних точках M
, K
и N
соответственно. Докажите, что
AB\cdot AM+AD\cdot AN=AK\cdot AC.
Решение. Отметим на отрезке AC
точку X
, для которой \angle ADX=\angle AKN
. В треугольниках AXD
и ANK
с общим углом при вершине A
, есть ещё одна пара равных углов, поэтому \angle AXD=\angle ANK
. Значит, поскольку четырёхугольник AMKN
вписанный,
\angle CXD=180^{\circ}-\angle AXD=180^{\circ}-\angle ANK=\angle AMK.
Кроме того, из параллельности CD
и AB
следует, что \angle DCX=\angle MAK
. Значит, треугольники ADX
и AKN
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AX}{AN}=\frac{AD}{AK}~\Rightarrow~AX=\frac{AN\cdot AD}{AK}.
Аналогично, из подобия треугольников MAK
и XCD
получаем
\frac{CX}{AM}=\frac{CD}{AK}~\Rightarrow~CX=\frac{AM\cdot CD}{AK}=\frac{AM\cdot AB}{AK}.
Тогда
AC=AX+CX=\frac{AN\cdot AD}{AK}+\frac{AM\cdot AB}{AK},
откуда
AK\cdot AC=AN\cdot AD+AM\cdot AB.
Что и требовалось доказать.