12674. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Точка N
— середина стороны BC
, \angle AND=135^{\circ}
. Докажите, что
AB+CD+\frac{1}{\sqrt{2}}BC\geqslant AD.
Решение. Пусть X
— точка, симметричная точке B
относительно прямой AN
, а Y
— точка, симметричная точке C
относительно прямой DN
. Тогда
\angle XNY=180^{\circ}-2(\angle ANB+\angle DNC)=180^{\circ}-2(180^{\circ}-135^{\circ})=90^{\circ},
NX=NB=NC=NY=\frac{1}{2}BC.
Значит, XY=\frac{1}{\sqrt{2}}BC
.
Кроме того, из симметрии AX=AB
и DY=DC
. Следовательно,
AD\leqslant AX+XY+YD=AB+\frac{1}{\sqrt{2}}BC+DC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2001, задача 8