12681. Пусть AB
— диаметр окружности S
, l
— касательная к этой окружности в точке A
, а c
— фиксированное положительное число. Рассматриваются пары точек X
и Y
, лежащих на прямой l
по разные стороны от точки A
, для которых AX\cdot AY=c
. Лучи BX
и BY
пересекают S
в в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что все прямые PQ
проходят через одну точку.
Решение. Пусть S
— единичная окружность в плоскости xOy
, концы диаметра AB
имеют координаты A(1;0)
и B=(-1;0)
, уравнение касательной l
имеет вид x=1
, а точки X
и Y
имеют координаты X(1;2p)
и Y(1;-2q)
, где p
и q
— положительные числа, причём pq=\frac{c}{4}
. Если \alpha=\angle ABP
и \beta=\angle ABQ
, то \tg\alpha=p
и \tg\beta=q
.
Пусть прямая PQ
пересекает ось Ox
в точке T
. Центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного, поэтому \angle TOP=2\alpha
и \angle TOQ=2\beta
. Треугольник OPQ
равнобедренный, поэтому
\angle OPQ=\angle OQP=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle POQ=90^{\circ}-\alpha-\beta,
\angle OTP=180^{\circ}-\angle POT-\angle OPT=180^{\circ}-2\alpha-\left(90^{\circ}-\alpha-\beta\right)=90^{\circ}-\alpha+\beta.
По теореме синусов
\frac{OT}{\sin\angle OPT}=\frac{OP}{\sin\angle OTP}=\frac{1}{\sin\angle OTP},
поэтому
OT=\frac{\sin\angle OPT}{\sin\angle OTP}=\frac{\sin(90^{\circ}-\alpha-\beta)}{\sin(90^{\circ}-\alpha+\beta)}=\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=
=\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}=\frac{1-\tg\alpha\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}=\frac{1-pq}{1+pq}=\frac{1-\frac{c}{4}}{1+\frac{c}{4}}=\frac{4-c}{4+c}.
Значит, для всех точек X
и Y
точка T
одна и та же, следовательно, точка T
лежит на всех прямых PQ
.