12682. Диагонали AC
и BD
квадрата ABCD
пересекаются в точке E
. Точка F
лежит на стороне CD
, причём \angle CAF=\angle DAF
. Отрезки AF
и ED
пересекаются в точке G
. Найдите CF
, если EG=24
.
Ответ. 48.
Решение. Через точку E
параллельно стороне CD
проведём прямую, пересекающую отрезок AF
в точке K
. Из прямоугольного треугольника AEG
находим, что
\angle KGE=\angle AGE=90^{\circ}-\angle EAG=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot45^{\circ}=67{,}5^{\circ}.
Кроме того,
\angle EKG=\angle KFD=90^{\circ}-\angle DAF=90^{\circ}-22{,}5^{\circ}=67{,}5^{\circ}=\angle KGE.
Значит, треугольник GEK
равнобедренный, EK=EG=24
.
По теореме Фалеса K
— середина отрезка AF
, поэтому EK
— средняя линия треугольника ACF
. Следовательно,
CF=2EK=48.