12685. Точки D
и E
расположены на сторонах соответственно AC
и BC
остроугольного треугольника ABC
, причём точки A
, B
, D
и E
лежат на одной окружности \Omega
. Описанная окружность \omega
треугольника DEC
пересекает отрезок AB
точках X
и Y
. Докажите, что середина отрезка XY
— основание высоты треугольника ABC
.
Решение. Степень точки A
относительно окружности \omega
равна
AX\cdot AY=AC\cdot AD=AC(AC-CD)=AC^{2}-AC\cdot CD.
Аналогично, степень точки B
относительно окружности \omega
равна
BX\cdot BY=BC^{2}-BC\cdot CE.
Кроме того AC\cdot CD=BC\cdot CE
как степень точки C
относительно окружности \Omega
.
Пусть M
— середина отрезка XY
. Тогда
AX\cdot AY=(AM-XM)(AM+XM)=AM^{2}-XM^{2},~
BX\cdot BY=BM^{2}-XM^{2}.
Таким образом, из этих четырёх равенств получаем
AM^{2}-BM^{2}=AX\cdot AY-BX\cdot BY=
=(AC^{2}-AC\cdot CD)-(BC^{2}-BC\cdot CE)=AC^{2}-BC^{2}.
Пусть CH
— высота треугольника ABC
. По теореме Пифагора
AC^{2}-AH^{2}=BC^{2}-BH^{2}.
Тогда
AB(AM-BM)=(AM+BM)(AM-BM)=
=AM^{2}-BM^{2}=AC^{2}-BC^{2}=AH^{2}-BH^{2}=
=(AH+BH)(AH-BH)=AB(AH-BH),
откуда
AM-BM=AH-BH,\mbox{или}~AM-AH=BM-BH.
Предположим, что точка H
лежит между A
и M
. Тогда MH=AM-AH\gt0
, а BM-BH\lt0
. Противоречие. Аналогично для случая, когда точка H
лежит между B
и M
. Следовательно, точки M
и H
совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.