12687. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
, CA
, AB
в точках D
, E
, F
соответственно. Отрезок FG
— диаметр окружности, а прямые EG
и FD
пересекаются в точке H
. Докажите, что CH\parallel AB
.
Решение. Пусть H'
— точка пересечения прямой DF
с прямой, проведённой через точку C
параллельно AB
. Докажем, что точка H'
совпадает с H
. Для этого достаточно доказать, что точки E
, G
и H'
лежат на одной прямой.
Пусть для определённости точки H'
и B
лежат по одну сторону от прямой AC
. Пусть I
— центр окружности. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Луч AI
— биссектриса угла BAC
, поэтому \angle IAB=\frac{\alpha}{2}
.
Треугольник CDH'
подобен равнобедренному треугольнику BDF
(BD=BF
), поэтому CH'=CD=CE
. Из равнобедренного треугольника ECH'
находим, что
\angle CEH'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ECH')=\frac{1}{2}(180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha))=\frac{\alpha}{2}=\angle IAB.
Значит, EH'\parallel AI
.
С другой стороны, EG\perp EF
и AI\perp EF
, поэтому EG\parallel AI\parallel EH'
. Значит, прямые EG
и EH'
совпадают, а значит, точки E
, G
и H'
лежат на одной прямой. Отсюда следует утверждение задачи.