12688. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ADB=\angle BDC
. Точка E
на стороне AD
такова, что AE\cdot ED+BE^{2}=CD\cdot AE
. Докажите, что \angle EBA=\angle DCB
.
Указание. Отобразите точку E
относительно прямой DB
.
Решение. Пусть F
— точка, симметричная точке E
относительно прямой DB
. Поскольку луч DB
— биссектриса угла ADC
, точка F
лежит на луче DC
. При этом AE\cdot ED\lt CD\cdot AE
, или FD=ED\lt CD
, т. е. точка F
лежит на отрезке DC
.
Треугольники DEB
и DFB
равны, так как они симметричны, поэтому \angle AEB=\angle BFC
. Кроме того,
BE^{2}=CD\cdot AE-AE\cdot ED=AE(CD-ED)=AE(CD-FD)=AE\cdot CF.
Значит,
\frac{BE}{AE}=\frac{CF}{BE}=\frac{CF}{BF},
поэтому треугольники BEA
и CFB
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle EBA=\angle FCB=\angle DCB.
Что и требовалось доказать.