12697. Около треугольника ABC
описана окружность \Gamma
. Перпендикуляр, опущенный из вершины C
на прямую AB
, пересекает прямую AB
в точке D
, а луч CD
пересекает окружность \Gamma
в точке E
. Биссектриса угла ACB
пересекает AB
в точке F
, а окружность \Gamma
— в точке G
. Луч GD
пересекает \Gamma
в точке H
, а луч HF
пересекает \Gamma
в точке I
. Докажите, что AI=EB
.
Решение. Луч CG
— биссектриса угла ACB
, поэтому
\angle AHG=\angle ACG=\angle GCB.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle HDB=\angle HAB+\angle AHG=\angle HCB+\angle GCB=\angle GCH=\angle FCH,
поэтому
\angle FDH=180^{\circ}-\angle HDB=180^{\circ}-\angle FCH.
Значит, четырёхугольник CFDH
вписан в окружность, и поэтому
\angle GCE=\angle FCD=\angle FHD=\angle IHG=\angle ICG.
Тогда, учитывая, что \angle ACG=\angle GCB
, получаем равенство \angle ACI=\angle ECB
. Следовательно, AI=EB
.