12701. Диагонали параллелограмма
ABCD
пересекаются в точке
E
. Биссектрисы углов
DAE
и
CBE
пересекаются в точке
F
. Оказалось, что
ECFD
— параллелограмм. Найдите отношение
AB:AD
.
Ответ.
\sqrt{3}:1
.
Решение. Четырёхугольник
ECFD
— параллелограмм, поэтому
ED\parallel CF,~\angle CFB=\angle EBF=\angle FBC

(
BF
— биссектриса угла
DBC
). Значит,
CFB
— равнобедренный треугольник,
BC=CF=ED
(
ECFD
— параллелограмм). Аналогично,
EC=AD
, а так как
ABCD
— параллелограмм, то
AD=BC
. Значит,
EC=ED
, поэтому
AC=BD
. Диагонали параллелограмма
ABCD
равны, значит, это прямоугольник.
Кроме того,
ED=EC=AE=AD,

поэтому треугольник
AED
равносторонний (аналогично для треугольника
BEC
). Из прямоугольного треугольника
BAD
с углом
60^{\circ}
при вершине
D
находим, что
\frac{AB}{AD}=\tg60^{\circ}=\sqrt{3}.