12701. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке E
. Биссектрисы углов DAE
и CBE
пересекаются в точке F
. Оказалось, что ECFD
— параллелограмм. Найдите отношение AB:AD
.
Ответ. \sqrt{3}:1
.
Решение. Четырёхугольник ECFD
— параллелограмм, поэтому
ED\parallel CF,~\angle CFB=\angle EBF=\angle FBC
(BF
— биссектриса угла DBC
). Значит, CFB
— равнобедренный треугольник, BC=CF=ED
(ECFD
— параллелограмм). Аналогично, EC=AD
, а так как ABCD
— параллелограмм, то AD=BC
. Значит, EC=ED
, поэтому AC=BD
. Диагонали параллелограмма ABCD
равны, значит, это прямоугольник.
Кроме того,
ED=EC=AE=AD,
поэтому треугольник AED
равносторонний (аналогично для треугольника BEC
). Из прямоугольного треугольника BAD
с углом 60^{\circ}
при вершине D
находим, что
\frac{AB}{AD}=\tg60^{\circ}=\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2015, задача 11