12702. Окружность, проходит через через вершину B
треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и BC
в точках K
и L
соответственно и касается стороны AC
в её середине M
. На дуге BL
, не содержащей точки K
, отмечена точка N
, для которой \angle LKN=\angle ACB
. Найдите \angle BAC
, если известно, что треугольник CKN
равносторонний.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Поскольку
\angle ACB=\angle LKN=\angle LBN,
прямые AC
и BN
параллельны, поэтому ACNB
— трапеция. Она равнобокая, так как окружность касается основания AC
в его середине M
, а диаметр окружности, проходящий через точку M
, — общий серединный перпендикуляр оснований AC
и BN
, т. е. ось симметрии трапеции.
Пусть K'
— отличная от N
точка пересечения отрезка NC
с окружностью. Тогда прямая KK'
параллельна основаниям трапеции, значит, M
— середина дуги KMK'
, а луч NM
— биссектриса угла KNC
равностороннего треугольника KNC
. Тогда NM
— серединный перпендикуляр к отрезку CK
, а так как M
— середина стороны AC
треугольника ACK
, то прямая MN
содержит среднюю линию этого треугольника. Значит, AK\parallel MN
, поэтому AK\perp CK
, а треугольник AKC
прямоугольный. Тогда
2\angle BAC=\angle KAC+\angle ACN=\angle KAC+\angle ACK+\angle NCK=
=\angle KAC+(90^{\circ}-\angle KAC)+60^{\circ}=150^{\circ}
Следовательно, \angle BAC=75^{\circ}
.