12708. Дан параллелограмм ABCD
в котором \angle BAD=60^{\circ}
. Пусть K
и L
— середины сторон BC
и CD
соответственно. Известно, что ABKL
— вписанный четырёхугольник. Найдите \angle ABD
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle BAL=\alpha
. Четырёхугольник ABKL
вписанный, поэтому
\angle CKL=180^{\circ}-\angle BKL=\angle BAL=\alpha.
Отрезок KL
— средняя линия треугольника BCD
, поэтому KL\parallel BD
. Тогда \angle DBC=\alpha
, а так как AB\parallel DC
, то \angle ADB=\angle CKL=\alpha
.
Пусть BD
и AL
пересекаются в точке P
. Треугольники ABP
и DBA
подобны по двум углам, поэтому \frac{AB}{DB}=\frac{BP}{AB}
. Треугольники ABP
и LDP
подобны с коэффициентом \frac{DL}{AB}=\frac{1}{2}
, поэтому BP=\frac{2}{3}DB
. Значит,
\frac{AB}{DB}=\frac{BP}{AB}=\frac{\frac{2}{3}DB}{AB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{DB}{AB},
откуда \frac{AB}{DB}=\sqrt{\frac{2}{3}}
.
По теореме синусов из треугольника ABD
получаем
\sin\alpha=\frac{AB}{DB}\sin60^{\circ}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2},
а так как \alpha\lt60^{\circ}\lt90^{\circ}
, то \angle BDA=\alpha=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABD=180^{\circ}-\angle BAD-\angle BDA=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}.