1271. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали AC
и BD
равны соответственно a
и b
. Точки E
, F
, G
и H
являются соответственно серединами сторон AB
, BC
, CD
и DA
. Площадь четырёхугольника EFGH
равна S
. Найдите диагонали EG
и HF
четырёхугольника EFGH
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}\pm2\sqrt{a^{2}b^{2}-16S^{2}}}
.
Указание. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1977 (отделение политической экономии), вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 96