12711. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает сторону BC
в точке D
, а описанную окружность — в точке E
. Точки K
, L
, M
и N
— середины отрезков AB
, BD
, CD
и AC
соответственно, P
и Q
— центры описанных окружностей треугольников EKL
и EMN
. Докажите, что \angle PEQ=\angle BAC
.
Решение. Треугольники AEB
и BED
подобны, поскольку
\angle BAE=\angle EAC=\angle CBE=\angle DBE.
Значит, \angle AEK=\angle BEL
как углы между соответствующими медианой и стороной подобных треугольников. Обозначим эти углы через \varphi
.
Тогда \angle EKL=\varphi
, так как KL
— средняя линия треугольника ABD
. Аналогично,
\psi=\angle AEN=\angle CEM=\angle ENM.
Пусть \beta=\angle ABC
, \gamma=\angle ACB
. Треугольник PEL
равнобедренный, поэтому
\angle PEL=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle EPL=90^{\circ}-\angle EKL=90^{\circ}-\varphi,
\angle PEA=\angle PEL-\angle AEL=\angle PEL-(\angle AEB-\angle BEL)=
=90^{\circ}-\varphi-(\gamma-\varphi)=90^{\circ}-\gamma.
Аналогично, \angle QEA=90^{\circ}-\beta
. Следовательно,
\angle PEQ=\angle PEA+\angle QEA=180^{\circ}-\beta-\gamma=\angle BAC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2018, задача 13