12715. Прямая l
касается окружности S_{1}
в точке X
, а окружности S_{2}
— в точке Y
. Прямая m
, параллельная l
, пересекает окружность S_{1}
в точке P
, а окружность S_{2}
— в точке Q
. Докажите, что отношение \frac{XP}{YQ}
не зависит от выбора прямой m
.
Решение. Пусть T
— вторая точка пересечения прямой m
с окружность S_{1}
, а R
— вторая точка пересечения прямой m
с окружностью S_{2}
. Обозначим \angle PXT=\alpha
, \angle RYQ=\beta
, R_{1}
и R_{2}
— радиусы окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно. Очевидно, что PX=XT
, RY=YQ
, а высоты равнобедренных треугольников PXT
и QYR
, опущенные из вершин X
и Y
, равны.
Вычислим отношение \frac{S_{\triangle PXT}}{S_{\triangle RYQ}}
двумя различными способами: первый —
\frac{S_{\triangle PXT}}{S_{\triangle RYQ}}=\frac{XP^{2}\sin\alpha}{YQ^{2}\sin\beta},
второй —
\frac{S_{\triangle PXT}}{S_{\triangle RYQ}}=\frac{PT}{RQ}=\frac{2R_{1}\sin\alpha}{2R_{2}\sin\beta}.
Из равенства
\frac{XP^{2}\sin\alpha}{YQ^{2}\sin\beta}=\frac{2R_{1}\sin\alpha}{2R_{2}\sin\beta}
получаем, что \frac{XP}{YQ}=\sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}}
. Отсюда следует утверждение задачи.