12716. Точка P
лежит внутри острого угла BAC
, причём \angle ABP=\angle ACP=90^{\circ}
. Точки D
и E
лежат на отрезках AB
и AC
соответственно, причём BD=BP
и CP=CE
. Точки F
и G
лежат на отрезках AC
и AB
соответственно, причём DF
перпендикулярно AB
и EG
перпендикулярно AC
. Докажите, что PF=PG
.
Решение. Треугольник PBD
прямоугольный и равнобедренный, поэтому
\angle GDP=\angle BDP=45^{\circ}.
Аналогично,
\angle PEC=\angle PEG=45^{\circ}.
Из точек D
и E
отрезок FG
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром FG
, т. е. четырёхугольник DEFG
вписанный.
Поскольку
\angle GEP=\angle GEC-\angle PEC=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}=\angle GDP,
четырёхугольник DEPG
тоже вписанный, а так как через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то пять точек D
, E
, F
, P
и G
лежат на одной окружности, т. е. пятиугольник DGPFE
вписанный. Тогда
\angle GFP=\angle GEP=45^{\circ}.
Аналогично, \angle FGP=45^{\circ}
. Значит, треугольник FPG
прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, PF=PG
. Что и требовалось доказать.