12721. Стороны треугольника равны a
, b
и c
. Докажите, что
\sqrt[{3}]{{(a^{2}+bc)(b^{2}+ac)(c^{2}+ab)}}\gt\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}.
Решение. Заметим, что
a^{2}+bc\gt\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}~\Leftrightarrow~2a^{2}+2bc\gt a^{2}+b^{2}+c^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}\gt(b-c)^{2}~\Leftrightarrow~a\gt|b-c|.
Последнее неравенство верно как неравенство треугольника.
Аналогично,
b^{2}+ac\gt\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2},~c^{2}+ab\gt\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}.
Перемножив три таких неравенства, получим требуемое.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2021, задача 2