12725. Окружность \omega
проходит через середину X
дуги ABC
описанной окружности \Omega
неравнобедренного треугольника ABC
, вершину B
и середину M
стороны AC
. Докажите, что отличная от M
точка пересечения окружности \omega
со стороной AC
— основание биссектрисы треугольника ABC
, проведённой из вершины B
.
Решение. Пусть луч XM
пересекает окружность \Omega
в точке W
, а отрезок BW
пересекает сторону AC
в точке F
. Тогда BW
— биссектриса угла ABC
, XW
— диаметр окружности \Omega
, а так как
\angle XBF=\angle XBW=\angle XMF=90^{\circ},
четырёхугольник BXMF
вписанный. Следовательно, точка F
лежит на окружности, проходящей через точки X
, B
и M
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50.