12735. Дан треугольник ABC
со сторонами BC=4
, AC=5
и AB=6
. Докажите, что \angle C=2\angle A
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
и \angle C=\gamma
.
Первый способ. По теореме косинусов
\cos\gamma=\frac{16+25-36}{2\cdot4\cdot5}=\frac{1}{8},
\cos\alpha=\frac{36+25-16}{2\cdot6\cdot5}=\frac{3}{4}.
Тогда
\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=2\cdot\frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}=\cos\gamma.
При этом \alpha\lt\gamma
, так как в треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Значит, \alpha\lt90^{\circ}
, а 2\alpha\lt180^{\circ}
. На промежутке от 0^{\circ}
до 180^{\circ}
функция y=\cos x
строго убывает, следовательно, 2\alpha=\gamma
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. На продолжении стороны BC
за точку C
отложим отрезок CD=AC=5
. Тогда BD=9
. Заметим, что
\frac{AB}{BD}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{BC}{AB},
поэтому треугольники ABD
и CBA
подобны. Значит,
\angle BAD=\angle BCA=\gamma,
а так как ACB
— внешний угол равнобедренного треугольника ACD
, то
\gamma=2\angle CDA=2\angle BDA=2\angle BAC=2\alpha.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1976, № 4, задача 102, с. 73