12736. В треугольнике ABC
на медиане BM
выбрана точка K
, для которой CK=CM
. Известно, что \angle CBM=2\angle ABM
. Докажите, что BC=MK
.
Указание. На медиане BM
отметьте точку L
, для которой BK=LM
, и докажите равенство треугольников AML
и CKB
.
Решение. Обозначим \angle ABM=\alpha
. Тогда \angle CBM=2\alpha
.
На медиане BM
построим точку L
, для которой BK=LM
. Тогда MK=BL
. Треугольники AML
и CKB
равны по двум сторонам (AM=MC=CK
и ML=BK
) и углу между ними (\angle AML=\angle CKB
как внешние углы при основании равнобедренного треугольника MCK
). Значит, \angle ALM=\angle CBM
, поэтому \angle ALM=\angle CBM
и AL=BC
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAL=\angle ALM-\angle ABL=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle BAL,
значит, треугольник ALB
равнобедренный с основанием AB
. Следовательно,
BC=AL=BL=MK.
Что и требовалось доказать.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2021, VI, задача 2, юниоры
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2022, XXVII, № 6, 7 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2022, № 8, с. 46, задача 6; 2022, № 9, с. 61, задача 6