12739. Дан треугольник со сторонами a\leqslant b\leqslant c
. Известно, что из его высот нельзя составить треугольник. Докажите, что b^{2}\gt ac
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты, опущенные на стороны a
, b
и c
соответственно. Тогда
h_{a}=\frac{2S}{a},~h_{b}=\frac{2S}{b},~h_{c}=\frac{2S}{c},
а так как a\leqslant b\leqslant c
, то h_{a}\geqslant h_{b}\geqslant h_{c}
.
По условию из отрезков h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
нельзя составить треугольник, поэтому
h_{a}\geqslant h_{b}+h_{c},~\mbox{или}~\frac{1}{a}\geqslant\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.
Умножив это неравенство на неравенство треугольника a+b\gt c
, получим
1+\frac{b}{a}\gt\frac{c}{b}+1,~\mbox{или}~\frac{b}{a}\gt\frac{c}{b},
откуда b^{2}\gt ac
.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2021, VI, задача 5, сеньоры